Pedagogia Sperimentale On line - Prof. Roberto Trinchero

L'analisi della varianza

Se il problema è stabilire l’esistenza di una relazione tra una variabile categoriale e una variabile cardinale è possibile ricorrere alla procedura detta analisi della varianza (one-way, perche una è la variabile indipendente, ANalysis Of VAriance - ANOVA). Essa consente di scomporre la varianza totale in un set di dati in due componenti: una varianza imputabile alla variabile categoriale (varianza esterna o riprodotta) e una varianza non imputabile alla variabile categoriale (varianza interna).

Supponiamo di avere 5 allievi, scelti casualmente, due di essi sono stati sottoposti ad un programma sperimentale per l’insegnamento della matematica e tre sono stati sottoposti al programma ordinario. Alla fine dell’anno scolastico i 5 vengono sottoposti a una prova oggettiva di matematica ed ottengono i seguenti risultati:

Si può dire che vi sia una differenza statisticamente significativa tra le medie dei due gruppi, ossia il fatto di aver seguito un programma “sperimentale” fa sì che gli allievi abbiano risultati migliori nel test di profitto?

Vediamo due casi limite. Nel primo (a sinistra) non vi è varianza all’interno delle categorie e tutta la varianza è tra le categorie. Nel secondo (a destra) tutta la varianza è concentrata all’interno delle categorie ed è nulla la varianza tra le categorie, dato che la media delle due categorie è la stessa. Nel primo caso la relazione tra tipo di intervento (sperimentale o ordinario) e punteggio ottenuto nel test è massima (il maggiore o minore punteggio di un singolo soggetto dipende solo dall'appartenenza all'una o all'altra categoria), nel secondo caso la relazione è nulla (il maggiore o minore punteggio di un singolo soggetto dipende dalle fluttuazioni all'interno della categoria a cui appartiene).

E' chiaro che la maggiore o minore forza della relazione dipende quindi dall'ammontare della varianza tra categorie rispetto a quella intra-categorie. Più questa è alta più la relazione è forte. Come calcolare l'ammontare della varianza all'interno delle categorie e quella tra una categoria e l'altra?

Ragioneremo per semplicità sulle devianze (la somma dei quadrati degli scarti dalla media), anziché sulle varianze. La devianza totale TSS (Total Sum of Square) nella tabella è data dalla somma dello scarto di ciascun punto dalla media generale (grand mean), ossia la media calcolata su tutti i casi come se questi non fossero divisi in gruppi, elevato al quadrato

=(27-22,2)^2+(21-22,2)^2+(16-22,2)^2+(24-22,2)^2+(23-22,2)^2=66,8

La devianza esterna BSS (Between Sum of Square) è data dalla somma degli scarti delle medie di categoria dalla media generale, pesata per il numero di soggetti in ciascuna categoria.

=(24-22,2)^2+(24-22,2)^2+(21-22,2)^2+(21-22,2)^2+(21-22,2)^2=10,8

La devianza interna WSS (Within Sum of Square) è data dalla somma degli scarti di ciascun punto dalla propria media di categoria:

=(27-24)^2+(21-24)^2+(16-21)^2+(24-21)^2+(23-21)^2=56

Dato che BSS e WSS sono le componenti della varianza totale TSS, deve sussistere la relazione TSS=BSS+WSS

La forza della relazione è tanto più alta quanto più è alta BSS rispetto a WSS. Viene definito pertanto l’indice eta quadro pari a:

Per i due casi limite precedenti:

Come tutti gli altri indici, eta quadro è accompagnato dalla sua significatività statistica (calcolata sulla base della distribuzione F di Snedecor) che ci informa sull’esistenza della relazione.