Risposte ai problemi a.4

1) Dato che la forza peso del corpo è equilibrata dalla forza di contatto esercitata dal piano sul corpo, e dato che non sono presenti forze di attrito, l’unica forza agente sul corpo è la forza orizzontale costante F che applichiamo ad esso.
Per la seconda legge della dinamica, se si applica al corpo una forza costante, il corpo subisce un’accelerazione costante nella direzione della forza, quindi il moto del corpo è rettilineo uniformemente accelerato in questa direzione.
L’accelerazione che il corpo di massa m = 300 kg subisce per effetto della forza di 150 N è:
a = F/m = 150 N / 300 kg = 0.500 m/s2
Se scegliamo come sistema di riferimento un asse x orizzontale, diretto nel verso della forza e avente origine nella posizione iniziale del corpo, l’equazione oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato:
x = x0 + v0 t + ½ a t2 si scrive semplicemente
(essendo x0 = 0 e v0 = 0):
x = ½ a t2
da cui possiamo ricavare il tempo t necessario a percorrere il tratto x = 3.0 m :
t = (2x/a)½ = 3.5 s
Quindi dall’equazione della velocità v = a t ricaviamo la velocità finale:
v = (0.500 m/s2) (3.5 s) = 1.8 m/s
Per il principio di inerzia, nel tempo successivo all’ istante t = 3.5 s (in cui la forza cessa di agire) il corpo proseguirà con moto rettilineo nella direzione x con la velocità costante di 1.8 m/s.

2) Dato che la forza peso del corpo è equilibrata dalla forza di contatto esercitata dalla superficie sul corpo, e dato che non sono presenti forze di attrito, le uniche forze agenti sul corpo sono le due forze orizzontali applicate ad esso.
Poiché esse hanno la stessa direzione ma versi opposti, la loro risultante ha modulo
F = 20 N
e direzione orizzontale verso sinistra.
Per la seconda legge, il corpo subisce una accelerazione orizzontale verso sinistra di
modulo:
a = F/m = (20 N)/(100 kg) = 0.20 m/s2

3) Per il secondo principio:
m1 /m2 = (F/a1)/ (F/a2) = a2/ a1 = 2.0 ,
cioè
m1 = 2.0 m2
Sempre per la seconda legge, l’accelerazione del sistema formato dai due corpi è
a = F / (m1 + m2) = F / [(F/a1) + (F/a2)] ƒn= (a1 a2 ) / (a1 + a2) = 3.3 m/s2

4) Sappiamo che nella bilancia a bracci uguali non importa il valore di g, ma solo che g sia la stessa su entrambi i piatti. Perciò il risultato della misura della massa del corpo, fatta con la bilancia a bracci uguali, sulla Luna e su Marte (e dovunque) è uguale a quello ottenuto nella misura fatta sulla Terra.
Invece, se utilizziamo la bilancia a molla tarata sulla Terra, i risultati della misura della massa del corpo sulla Luna e su Marte sono diversi dal risultato della misura fatta sulla Terra:
sulla Luna la bilancia a molla fornisce il risultato:
m’ = (1.67/9.81) m = 0.034 kg
su Marte la bilancia a molla fornisce il risultato:
m” = (3.72/9.81) m = 0.076 kg

5) Chiamiamo O il punto di ancoraggio della sbarra. A questo punto si individuano due segmenti: AO,OB per i quali vale la relazione: AO+OB=1,80 [m] .
Chiamiamo AO = x
x+OB=1,80, quindi OB=1,80−x.
Non ci resta che porre la condizione di equilibrio fra i momenti associati alle forze agenti sui due estremi della sbarra, relative ai due bracci individuati: F1*b1 =F2*b2
100 N*AO[m] = 300 N*OB[m]
100 N*x[m]=300 N*(1,80−x)[m]
Quindi x=AO= 1,35 m e OB= 0,45 m.

ATTENZIONE: Per semplicità, non ho considerato l’angolo α che si forma fra la direzione della sbarra e la reale direzione del braccio, poiché si hanno triangoli simili. In realtà quindi si ha che il braccio b1= x cosα e b2=(1,8 − x) cosα quindi:
100[N]*x[m] cosα =300[N]*(1,80−x)[m] cosα.

6) Sulla prima ruota di diametro 0,3 m agisce un momento di modulo pari a:
|M1| =F1*r1 =8 N *0,15 m =1,2 N*m con verso antiorario. Sulla seconda ruota di diametro 0,4 m agisce un momento di modulo pari a: |M2| =F2*r2 =4 N*0,2 m =0,8 N*m con verso orario. Il momento risultante sarà in modulo |Mr|= 0, 4 N *m con verso antiorario.

7) La forza che ha momento maggiore è la F2, poiché ha il braccio maggiore rispetto a tutte le altre.

8) Il momento di una forza rispetto a un punto è zero se il modulo della forza è nullo o se il braccio della forza è nullo, ossia se il punto giace sulla retta d’azione della forza.

9) Innanzitutto si trova la risultante delle prime di due forze da 200 N e 100 N. Essa avrà modulo pari a 300 N e sarà posizionata in un punto della trave distante a dalla prima forza e b dalla seconda, tale che siano soddisfatte le seguenti relazioni: a+b= 1m, 200N*a=100N*b. Si ricavano a=0.33m, b=0.66m. Analogamente si ricava il modulo della risultante tra questa forza e quella di 300 N, che sarà pari a 600N e sarà posizionata in un punto della trave distante c dalla prima forza e d dalla seconda, tale che siano soddisfatte le seguenti relazioni: c+d=(3m-0.33m)=2.66m, 300N*c=300N*d. Si ricava c=d=1.33m. Quindi la risultante delle tre forze ha moduli pari a 600 N ed è posizionata a una distanza pari a (1.33m+0.33m)=1.66m dalla prima forza.

10) Data la forma del bacino l'acqua sarà disposta per metà sopra i 5 m dal fondo e per metà sotto. Possiamo quindi fare il calcolo come se si trovasse tutta a 5 m dal fondo, quindi ad una altezza h= 5 + 50 = 55 m rispetto alla pianura sottostante. Calcoleremo la massa dell'acqua saqpendo che la sua densità e circa d=1000 kg/m3. L'energia potenziale sarà quindi
E = m g h = d V g h = 1000 * 10 * 20 * 100 * 9.81 * 55 = 1,08 x 10¹⁰ Joule

11)  Il pallone ha una velocità iniziale v₀, di componenti v_0x = v_0y poichè l'angolo della velocità con il piano orizzontale è 45^o . Al culmine della traiettoria la velocità è orizzontale  e vale v_0x. Sarà:
1/2 m v_0x² = m g h
L'energia cinetica alla partenza del pallone sarà :
T = 1/2 m (v_0x² + v_0y²) = 1/2 m 2 v_0x² = 2 m g h = 2 * 0,4 * 9,81 * 20 = 156,8 J

12) 10000 metri cubi di acqua corrispondono a 10⁷ kg di acqua che, a 1000 m, hanno un'energia potenziale rispetto al suolo pari a
10⁷ * 10³ * 9,81 = 10¹¹
 tale è l'energia cinetica assorbita dal  suolo e dall'aria.

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