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[I2]
[I3]
[I4]
[E1]
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[E3]
[ES1]
Il sistema binario è chiaramente quello elementare, in quanto non è possibile immaginare un sistema numerico che abbia un numero di simboli minore di 2 perché non sarebbe posizionale.
Proprio perché elementare, rappresenta il sistema di riferimento per tutte le applicazioni tecnologiche odierne ed è alla base del funzionamento di tutti i calcolatori. E' infatti vero che, se per l'uomo risulta difficile utilizzare la numerazione binaria, a meno di un buon allenamento, per i dispositivi elettronici e quindi il calcolatore il funzionamento binario è intrinseco e quindi naturale.
Il sistema di numerazione binario è a base due: i simboli che lo rappresentano comprendono i numeri decimali 0 e 1. I numeri binari vengono contrassegnati con pedice 2; per esempio, il numero binario 1010 si indica (1010)2.
Anche i numeri binari espressi in forma polinomiale esprimono il valore del corrispondente numero decimale:
(1010)2 = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = (10)10
La conversione dal sistema decimale al sistema binario si effettua con il metodo delle divisioni successive. Si divide il numero dato per 2, considerando il quoziente intero ed il resto, che può essere 0 (se il numero dato è pari) oppure 1 (se il numero dato è dispari); si prosegue allo steso modo considerando come dividendo il quoziente intero, finché il quoziente attuale è divisibile per 2; infine, il numero binario cercato è dato dalla sequenza di cifre costituita dall’ultimo quoziente e da tutti i resti delle divisioni parziali, considerati in ordine inverso a quello di generazione.
Esempio
La trasformazione del numero decimale 987 in binario si effettua nel modo seguente:
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987 |
2 |
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1 |
493 |
2 |
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1 |
246 |
2 |
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0 |
123 |
2 |
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1 |
61 |
2 |
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1 |
30 |
2 |
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0 |
15 |
2 |
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1 |
7 |
2 |
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1 |
3 |
2 |
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1 |
1 |
2 |
|
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1 |
0 |
Il numero binario corrispondente al decimale 987 è: (1111011011)2 = (987)10 , notare come il valore sia letto dal basso verso l’alto della diagonale binaria ottenuta. Per la verifica basta esprimere il numero (1111011011)2 in forma polinomiale:
(1111011011)2 = (987)10 = 1 x 29 + 1 x 28 + 1 x 27 + 1 x 26 + 0 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20
E' importante conoscere a memoria la conversione dei primi sedici valori binari perché semplifica notevolmente la manipolazione dei numeri in tale base, come da tabella seguente:
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base 10 |
base 2 |
base 10 |
base 2 |
base 10 |
base 2 |
base 10 |
base 2 |
|
0 |
0000 |
4 |
0100 |
8 |
1000 |
12 |
1100 |
|
1 |
0001 |
5 |
0101 |
9 |
1001 |
13 |
1101 |
|
2 |
0010 |
6 |
0110 |
10 |
1010 |
14 |
1110 |
|
3 |
0011 |
7 |
0111 |
11 |
1011 |
15 |
1111 |
Per la trasformazione in binario di un numero decimale compreso tra 0 ed 1 si utilizza il metodo seguente. Si effettuano moltiplicazioni iterative per 2, considerando ogni volta la parte frazionaria; la parte intera è un bit del numero cercato. Si procede come indicato finché non si ottiene una parte frazionaria uguale a 0. In caso contrario, ci si arresta all’n-esimo bit dopo la virgola, e si ottiene un numero approssimato a meno di 1/2n.
Esempi
Convertire i numeri decimali 0,375 e 0,8375 in binario
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0, |
3 |
7 |
5 |
x |
|
|
|
|
0, |
8 |
3 |
7 |
5 |
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0), |
7 |
5 |
0 |
x |
|
|
|
|
1), |
6 |
7 |
5 |
0 |
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1), |
5 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1), |
3 |
5 |
0 |
0 |
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1), |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0), |
7 |
0 |
0 |
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
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|
1), |
4 |
0 |
0 |
0 |
….. |
Si ottiene quindi: 0,375 = 0,011 e 0,8375 = 0,1101…con approssimazione di 1/24.
Nel caso in cui il numero decimale è reale, si trasforma la parte intera con il metodo delle divisioni successive e la parte frazionaria con quello delle moltiplicazioni per 2 unendo poi i due risultati.
Esempio
Convertire il numero decimale 435,378 in binario
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435 |
2 |
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0, |
3 |
7 |
8 |
x |
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1 |
217 |
2 |
|
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|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
108 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0), |
7 |
5 |
6 |
x |
|
|
|
0 |
54 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
27 |
2 |
|
|
|
|
|
1), |
5 |
1 |
2 |
x |
|
|
|
|
|
1 |
13 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
2 |
|
|
|
1), |
0 |
2 |
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
0), |
0 |
4 |
8 |
…. |
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|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
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Dai calcoli fatti risulta che (435)10 = (110110011)2 e (0,378)10 = (0110)2 a meno di 1/24, quindi unendo i risultati si ottiene che 435,378 = 110110011, 0110.
