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I numeri razionali - La storia
A noi oggi sembra del tutto naturale pensare alle frazioni come a dei numeri a tutti gli effetti, poste cioè sullo stesso piano degli interi. Tuttavia, se oggi sembra naturale pensare a 1/2 come a 0,5, nella storia della matematica non è stato sempre così [F1]. La rappresentazione decimale delle frazioni, infatti, ha iniziato a diffondersi in Europa soltanto circa quattro secoli fa: prima, i vari popoli utilizzavano le frazioni senza calcolare la divisione tra numeratore e denominatore, e ricorrendo quindi a “trucchi” e regole pratiche di calcolo diverse. I calcoli con le frazioni erano in genere assai laboriosi e non erano ovviamente alla portata di tutti. Venivano eseguiti dagli scribi, che utilizzavano tavole di vario tipo (per esempio per il calcolo degli inversi).
Nell’antichità, ogni popolo utilizzava un calcolo frazionario diverso, a seconda del sistema di numerazione adottato, per esempio:
Le civiltà Mesopotamiche [I1] [ES1] utilizzavano un sistema numerico in base 60 e, sorprendentemente, essi consideravano già le frazioni sessagesimali come dei numeri a tutti gli effetti. Essi distinguevano i numeri in:
regolari: i numeri contenenti soltanto i fattori 2, 3, 5 (i fattori primi di 60) ed esprimibili pertanto con una frazione sessagesimale finita.
irregolari: i numeri, come 7, 11, 13, … , i cui inversi davano invece luogo a frazioni sessagesimali infinite periodiche.
Nella più antica tavola di inversi ritrovata (1800 a.C. circa) sono riportati gli inversi dei numeri tra 2 e 60; quando si tratta di calcolare gli inversi di 7, 11, 13, …, 59 lo scriba scrive che tali numeri non hanno inverso. [E1]Nel caso degli Egizi, [I1], [I2], [E1], [ES1] l'insieme numerico su cui operavano era l’insieme dei numeri naturali escluso lo zero, cui andavano aggiunte tutte le frazioni ( [E1]) del tipo 1/n con n intero positivo e la frazione particolare 2/3.
In Grecia, l’aritmetica si sviluppò secondo due filoni: la logistica, tecnica di calcolo legata alle attività pratiche e l’aritmetica, ossia la scienza pura del numero, coltivata dai matematici e dai filosofi. Godevano dello statuto di arithmoi (numeri) solo i numeri interi. Esistevano anche i rapporti di interi, ma non erano concepiti come numeri. Anche il sistema di numerazione indiano, dal quale proviene il nostro, concerneva solo l’espressione degli interi e si passò assai tardi alla nozione di frazioni decimali, che, come abbiamo detto, cominciarono a diffondersi in Europa solo alla fine del ‘500.
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