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2.1 - Rappresentazione Binaria Pura e operazioni
[I1]
[I2]
Se, all’interno di un calcolatore, ai numeri interi senza segno vengono assegnati ad esempio n = 4 bit, sono rappresentabili i numeri da 0000 (il più piccolo corrispondente allo 0 decimale) a 1111 (il più grande corrispondente al decimale 24 -1 = 15). La serie completa può essere ricavata applicando la seguente regola: nella prima colonna a destra si alternano le cifre 0 e 1; nella seconda colonna da destra si alternano gruppi di 00 e 11; nella terza colonna si alternano gruppi di 0000 e 1111 e così via per un numero superiore di bit.
Nel nostro caso per n = 4:
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0 |
0 |
0 |
0 |
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0 |
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0 |
0 |
0 |
1 |
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1 |
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0 |
0 |
1 |
0 |
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2 |
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0 |
0 |
1 |
1 |
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3 |
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0 |
1 |
0 |
0 |
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4 |
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0 |
1 |
0 |
1 |
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5 |
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0 |
1 |
1 |
0 |
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6 |
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0 |
1 |
1 |
1 |
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7 |
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1 |
0 |
0 |
0 |
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8 |
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1 |
0 |
0 |
1 |
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9 |
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1 |
0 |
1 |
0 |
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10 |
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1 |
0 |
1 |
1 |
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11 |
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1 |
1 |
0 |
0 |
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12 |
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1 |
1 |
0 |
1 |
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13 |
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1 |
1 |
1 |
0 |
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14 |
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1 |
1 |
1 |
1 |
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15 |
In generale con n bit sono rappresentabili i numeri decimali da 0 a 2n- 1. Ad esempio con n = 8 da 0 a 255, con n = 16 da 0 a 65535.
Nei sistemi di numerazione diversi dal decimale le quattro operazioni (somma, sottrazione, prodotto, divisione) seguono le stesse regole del sistema decimale.
Le cifre di due numeri da sommare vengono incolonnate in modo che in una stessa colonna vi siano unità dello stesso ordine. Se, in un certo ordine si ottengono tante unità quante sono quelle di base, si ottiene una unità di riporto verso l’ordine seguente (a sinistra).
Per la sottrazione, al riporto di unità verso l’ordine immediatamente a sinistra si sostituisce il prestito di unità dall’ordine immediatamente a sinistra, con l’avvertenza che una unità di un certo ordine equivale a b unità dell’ordine immediatamente a destra, se b è la base del sistema di numerazione adottato.
Esempio
Assegnati i due numeri decimali 137 e 23, eseguire addizione e sottrazione nei sistemi di numerazione decimale, binario ed esadecimale.
- trasformazione dal sistema decimale al binario (metodo formale)
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137 |
2 |
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23 |
2 |
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1 |
68 |
2 |
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1 |
11 |
2 |
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0 |
34 |
2 |
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1 |
5 |
2 |
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0 |
17 |
2 |
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1 |
2 |
2 |
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1 |
8 |
2 |
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0 |
1 |
2 |
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0 |
4 |
2 |
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1 |
0 |
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0 |
2 |
2 |
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0 |
1 |
2 |
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1 |
0 |
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(137)10 = (10001001)2 (23)10 = (10111)2
- trasformazione dal sistema binario al sistema esadecimale (metodorapido e informale)
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1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
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1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
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8 |
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9 |
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1 |
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7 |
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(1000)2 = 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20 = (8)10 = (8)16
(1001)2 = 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = (9)10 = (9)16
Si ha quindi che: (10001001)2 = (89)16.
(1)2 = 1 x 20 = (1)10 = (1)16
(0111)2 = 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = (7)10 = (7)16
Si ha quindi che: (10111)2 = (17)16.
Allo stesso risultato si poteva arrivare eseguendo una trasformazione dei numeri 137 e 23 dalla base decimale a quella esadecimale, infatti eseguendo le opportune divisioni:
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137 |
16 |
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23 |
16 |
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9 |
8 |
16 |
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7 |
1 |
16 |
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8 |
0 |
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1 |
0 |
(137)10 = (89)16 (23)10 = (17)16
- operazioni nel sistema decimale
somma e sottrazione
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1 |
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1 |
3 |
7 |
+ |
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1 |
3 |
7 |
- |
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2 |
3 |
= |
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2 |
3 |
= |
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1 |
6 |
0 |
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1 |
1 |
4 |
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- operazioni nel sistema binario
somma e sottrazione
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1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
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1 |
1 |
1 |
10 |
1 |
1 |
10 |
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1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
+ |
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1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
- |
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1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
= |
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1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
= |
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1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
Infatti:
(10100000)2 = 0 x 20 + 0 x 21 + 0 x 22 + 0 x 23 + 0 x 24 + 1 x 25 + 0 x 26 + 1 x 27 = (160)10 = (137 + 23)10
(01110010)2 = 0 x 20 + 1 x 21 + 0 x 22 + 0 x 23 + 1 x 24 + 1 x 25 + 1 x 26 + 0 x 27 = (114)10 = (137 - 23)10
- operazioni nel sistema esadecimale
somma e sottrazione
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1 |
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|
|
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8 |
9 |
+ |
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8 |
9 |
- |
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1 |
7 |
= |
|
|
|
|
|
1 |
7 |
= |
|
A |
0 |
|
|
|
|
|
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7 |
2 |
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Infatti:
(A0)16 = 0 x 160 + A x 161 = 10 x 16 = (160)10 = (137 + 23)10
(72)16 = 2 x 160 + 7 x 161 = (114)10 = (137 - 23)10
18/53
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